שלום
בענין הדלקת נר נשמה לנפטרים – המקור הוא קדמון. 

יש מביאים ראיה מהגמ' בכתובות המספרת אודות פטירתו של רבי הקדוש, שציוה לבניו "נר יהא דלוק במקומי". [והגם שלרש"י שם מדובר בנר שבת שיהא דלוק על השלחן בביתו, מכל מקום השטמ"ק הביא בשם פרש"י מהדו"ק שזה חוזר גם על נר לעילוי נשמתו].

במהרש"ל [שו"ת סי' מו] מביא "שמעתי מזקן שהורה לומר שידליק נר בביהכ"נ ביום שמת בו אביו כמו שרגילים בכל ארץ אשכנז כו'".

הרמ"א [או"ח תר"י ס"ד] כתב בשם הכלבו שיש להדליק ביוה"כ נר נשמה לטובת נשמת אביו ואמו.

וכן הובא ברבינו בחיי כפי שיצוטט לקמן מהבא"ח.

בענין התועלת בזה לנפטר, כבר נשאל "שר בית הזוהר" מרן הבן איש חי בספרו "תורה לשמה" [תק"כ] נביא את הדברים [בשינויי לשון מתבקשים]:

השאלה:

גם רצינו לדעת מה טעם יש בהדלקת הנר למנוחת הנפטר בבית תוך שבעה?

ניתן להבין את מה שמדליקין בביהכ"נ – משום שיש בזה מצוה לכבוד ביהכ"נ דכתיב באורים כבדו ה' וא"כ מצוה זו היא בכלל המצות שעושין למנוחת הנפטר ולעילוי נשמתו, אבל מה שמדליקין בבית הנפטר תוך שבעה – מה מצוה יש בזה ומה תועלת?

יש ובפרט מה שמדליקין הנר ברציפות יומם ולילה מה מועיל הנר ביום?

משיב הרב:
ועל מה ששאלת בענין הדלקת נר בתוך השבעה בבית הנפטר דע כי כתב רבינו בחיי ז"ל בפ' תרומה וז"ל:

"וידוע כי הנשמה נהנית בהדלקת הנרות והיא מתהלכת בעדוני ההוד והשמחה, ומתפשטת ומתרחבת מתוך הנאת האורה מפני שהיא חתיכת אור חצובה באור השכל, ומן הטעם הזה נמשכת אחר האור שהוא מינה [=מסוגה], אע"פ שהוא אור גופני והנשמה אור רוחני זך ופשוט, ועל כן המשילה שלמה ע"ה לנר הוא שאמר (משלי כ) נר ה' נשמת אדם". עכ"ל.

הרי לך שהנשמה יש לה הנאה מן האור.

ואל תתמה על זה, כי גם מן הריח מצינו שהנשמה נהנית בעודה שוכנת בגוף וכמ"ש רז"ל "איזה דבר שהנשמה נהנית בו זה הריח".

והסיבה לכך מפני שהריח הוא רוחני ולכן מגיע ממנו הנאה לנפש שהיא רוחנית, וכ"ש האור שהוא יותר דק ורוחני מן הריח, ועל כן בתוך השבעה אשר נפש הנפטר עודנה מצויה בתוך הבית כפי ההתחלקות וכמ"ש רבינו האר"י זצ"ל בטעם ז' ימי אבלות, לזה מדליקין נר שם בעבור הנאת הנפש.

אך אחר ז' שמסתלקת לגמרי מן הבית אין טעם להדליק וכן אם לא נפטר האדם שם אעפ"י שהאבלים הם שם אין מדליקין.

אך טוב להדליק נר תוך י"ב חודש בביהכ"נ למנוחת הנפטר וכן בכל שנה ביום יארצייט – יום זכרון, וצריך שיאמר בפיו בשעת הדלקת הנר שהוא "מדליק הנר הזה למנוחת נפש פלוני בן פלוני" ואז בקריאה זו שהוא מוציא בפה מגיעה הנאה לנפש הנפטר אפילו מרחוק וכ"ש אם מדליק על המצבה עצמה ששם משכן חלק מחלקי הנפש.

והרי הודעתי לך לפי דרכינו שיש טעם ג"כ בהדלקת נרות אצל מצבות הצדיקים זיע"א כשהולכים העולם להשתטח שם".

מוסיף הבן איש חי עומק נוסף המבאר את הקשר בין הנר לנפש:

"גם דע כי באור הנר יש חמשה גוונים הידועים למשכילים וכנ"ז בר"ח והם כנגד חמשה חלקי הנפש שהם נרנח"י. [נפש רוח נשמה חיה יחידה], ודבר זה מובא גם בדברי רז"ל בתלמוד הוא מפורש במה שאמרו חמשה שמות יש לנשמה ועל כן אור הנר הוא דוגמא ומשל לנשמה, ולכן יש לה הנאה מן האור הנדלק לזכותה, אך ודאי צריך להזכיר בפה שהוא מדליק שמן זה למאור למנוחת ולעילוי נשמת פלוני בן פלוני וכאשר אמרנו, כי בכל ענין תמצא שהדיבור פועל, וכאשר תראה מה שאמרו בצרכי שבת שצריך לומר בערב שבת בכל עסק של תבשיל וכיוצא שהוא עושה "זה לכבוד שבת קודש", וע"י הדיבור הזה ממשיך הארת קדושה מקדושת השבת על אותו הדבר שעוסק בו, וכל זה נחשב מכלל כבוד השבת כנודע.
ולכן ודאי טוב ונכון שהנר שמדליקין תוך ז' בבית וכן תוך י"ב חודש בביהכ"נ וכן בכל שנה ביום יא"ר צי"ט צריך שהבן עצמו ידליק הנר בידו בעבור אביו או אמו ויאמר בפיו בכל פעם שמדליק הריני מדליק שמן למאור נר זה למנוחת ולעלוי נפש וכו' ודבר זה נחשב לו בכלל כבוד אביו ואמו ודי בזה למשכילים. עכ"ד הרב בן איש חי.

המשנה ברורה [או"ח תר"י סקי"ב] כתב שהנר מועיל לכפר על נשמת הנפטר. [עי' ספר בכור שאול עמ' פא שכתב שזה דוקא ביוה"כ שמתכפרין בו גם החיים].

טעם נוסף לקשר בין הנר לנשמה – בשו"ת יביע אומר (ח"ד סימן לד) הביא בשם הספר 'מאמר אסתר' שהשלהבת רומזת לנשמה, נר ה' נשמת אדם, והשמן רמז להשפעה, והמים רומזים לחומר שנפסד, כמו שכתוב "כי מות נמות וכמים הנגרים ארצה".

ראוי את הנר להדליק בשמן, השמ"ן אותיות נשמ"ה. ואם לא – ידליק בשעו"ה, שכידוע לדעת המקובלים רומז לש"ע נהורין.

בבתי כנסת שמקפידים לא להדליק נרות, יכולין להדליק בנר חשמלי [הגר"ע יוסף זלה"ה, ועי' היכל הוראה ברנדסופר  יו"ד עמ' רכד בשם הגרמ"א פריינד שחולק].

אם רוצה להדליק על קבר קרובו או בביהכ"נ ואינו יכול להגיע לשם, מועיל למנות על זה שליח שיאמר בפיו שמדליק בשליחות פלוני. [היכל הוראה שם].

ומכל הדברים הנ"ל נבין תשובה לשאלתך השניה – 

אין לכבות את הנר של הנפטר, שבזה מצער את הנשמה.