השלום והברכה,
נחלק את התשובה לכמה חלקים.
נפתח תחילה בשאלה – האם בית המקדש ייבנה על ידי אדם או ירד בנוי באש?
אכן כפי שציינת נושא זה שנוי במחלוקת. אף אחד לא מתעלם מהשיטות החולקות, הן מובאות ומצוטטות, ואף רבים מנסים ליישב בין השיטות החלוקות כפי שייתבאר בהמשך דברינו.

הסוברים שבית המקדש ירד בנוי באש:

הדעה המפורסמת לכל היא דעת רש"י במס' סוכה מא. "מקדש העתיד שאנו מצפין בנוי ומשוכלל הוא יגלה ויבא משמים, שנאמר (שמות טו) מקדש ה' כוננו ידיך" [-ולא ידי אדם]. [וכן סוברים ראשונים רבים וביניהם התוס' והראב"ן ועוד].

וכן מדויק מן הנוסח אותו אומרים כלל ישראל ב'נחם' בתשעה באב: "כי אתה ה' באש הצתה ובאש אתה עתיד לבנותה".

כך גם מדויק בתפילת המוסף לרגלים:
יהי רצון מלפניך ה' אלוקינו ואלוקי אבותינו  מלך רחמן
שתשוב ותרחם עלינו ועל מקדשך  ברחמיך הרבים ותבנהו מהרה ותגדל כבודו …בנה ביתך כבתחילה וכונן מקדשך על מכונו והראנו בבנינו [-לא "זכנו בבניינו", אלא רק "הראנו"!] ושמחנו בתיקונו והשב שכינתך לתוכו וכו'.
וכן הוא מפורש בילקוט [תורה פרשת משפטים, המתחיל ברמז שו]:
כי תצא אש [כ"ב, ה] מעצמה שלם ישלם המבעיר את הבערה [כ"ב, ה] אמר הקדוש ברוך הוא אני הצתי אש בציון שנאמר ויצא אש בציון ואני עתיד לבנותה באש שנאמר ואני אהיה לה נאם ה' חומת אש סביב לה ולכבוד אהיה בתוכה וכו':

וכך מבואר בדברי אליהו הנביא בזוהר (פ' פינחס ד' רכ"א):

…אנא שאלנא יומא חד לאליהו, ואמר דהא במתיבתא דרקיע אסתדרו קמי דקב"ה והכי הוא, דכד נפקו ישראל ממצרים בעא קב"ה למעבד לון בארעא כמלאכין קדישין לעילא ובעא למבני לון ביתא קדישא וכו' הה"ד תביאמו תטעמו בהר נחלתך וכו' ומדארגיזו קמיה במדברא מיתו ואכנס לו קב"ה לבנייהו בארעא וביתא אתבני על ידי דבר נש ובגין כך לא אתקיים וכו' ביומוי דעזרא גרם חטאה ואצטרכון אינון למבני ולא הוה ביה קיומא, ועד כען בניינא קדמאה דקב"ה לא הוה בעלמא, ולזמנא דאתי כתיב בונה ירושלם ה' איהו ולא אחרא, ובניינא דא אנן מחכאן ולא בניינא דבר נש דלית ביה קיומא כלל כו': עכ"ל הזוה"ק.

הסוברים שביהמ"ק ייבנה בידי אדם:

בשיהש"ר סוף פרשה ה' שמלך המשיח יבוא ויבנה את ביהמ"ק.

וכן הוא בתוספתא פסחים פרק ח', ובירושלמי פסחים ט א, ובויק"ר ט ו, במדר"ר צו פ' ט' פי' ו.

וכן כתב הרמב"ם בפי"א מהל' מלכים ה"א כתב: "המלך המשיח עתיד לעמוד ולהחזיר מלכות בי"ד ובונה מקדש":

וכ"כ בהקדמתו לפיה"מ בסדר זרעים שרבי חיבר מסכת מידות [כיון שיש בה לימוד מעשי לעתיד-] כדי שכשיבנה ביהמ"ק יש לשמור ולעשות התבנית ההוא וכו'.

וכך גם משתמע מרש"י עצמו בסוכה נב: וכפי שהקשה בזה סתירה הערל"נ הקשה ע"ד רש"י הנ"ל [סוכה מא.] מרש"י בסוכה נב: עה"פ ארבעה חרשים משיח בן דוד ומשיח בן יוסף שכתב לפרש שם "חרשים אומנים משיחים – שניהם חרשים לבנין ביהמ"ק. עכ"ל. משמע שס"ל לרש"י שהמשיח יבנה ביהמ"ק?

למעשה האחרונים מיישבים את הדעות הסותרות [וממילא את הסתירה ברש"י] נזכיר שלשה תירוצים:

א. בשו"ת מהר"ם שיק [חיו"ד סי' רי"ג] רוצה לומר שזה תלוי בב' קיצין, אם יהיה קץ של 'בעתה' יהיה כפי סדר הרמב"ם, ואם יהיה קץ של אחישנה אז יבנה בידי שמים ע"ש.

ב. בספר שיח יצחק בשם הגאון האמיתי מהרי"ל דיסקין זצ"ל שביאר את אומרנו בתפילת המוסף "והראנו בבנינו שמחנו בתיקונו" – מהו בניינו ומהו תיקונו?

בניינו – זה הבנין המשוכלל מלמעלה. ושמחנו בתיקונו הוא העמדת שערים, שזקני ישראל יעמידו השערים הנגנזים, והמעמיד דלתות בבית כאלו בנאה כמבואר בב"ב נ"ג, ובזה תהיה השמחה שלימה.

ג. התירוץ היותר מקובל מובא בערוך לנר [סוכה ד' מ"א] שירד למטה ביהמ"ק רוחני לתוך הביהמ"ק שיבנה ע"י המשיחים כנשמה בתוך הגוף עיין שם.

וכן כתב הרמח"ל ב"משכני עליון" (נמצא ב"גנזי רמח"ל" עמוד קנז) "שהבית העליון יתפשט ויגיע למטה, והוא משרז"ל שמקדש שלישי הוא מעשה ידיו של מקום, כי לא יעקר הבית העליון ממקומו, רק יתפשט ויגיע למטה, ואז יבנה סביבותיו בנין חמרי כאשר לעולם הזה, ויתחבר בנין בבנין להיות אחד, לא יתפרדו זה מזה. והכבוד יהיה שורה בו בגילוי גמור, והוא הענין שנאמר עליו "ונגלה כבוד ה' וראו".

על כל פנים – הדעה היותר מקובלת היא דעת הנוקטים שירד בנוי באש, וכפי שכתב האלשיך [ירמיהו ל – יח] "הנה מסורת בידנו כי ירושלם תבנה ותכונן באיכות אש רוחני, וכאשר סידרו לנו אבות ראשונים גדולי עולם בנוסח תפלתנו, כי אתה ה' באש הצתה ובאש אתה עתיד לבנותה, וכמפורש אצלינו בפסוק עיר עז לנו ישועה ישית כו', וכן מסורת בידינו כי המקדש העתיד אינו מעשה ידי אדם, כי אם מקדש ה' כוננו ידיו למעלה ויביאנו ויטענו במקום מקדשנו": עכ"ל.

האם יש מצוה עלינו היום לבנות את בית המקדש?

לשיטות הסוברות שביהמ"ק ירד בנוי באש – בוודאי שלא.

אך גם אם נסבור שהמצוה על ישראל לבנות את בית המקדש ולא יירד בנוי באש – עדיין אין זה אומר שיש עלינו כיום מצוה כזו, שהרי כדי לבנות את בית המקדש צריך נביא, ולא ניתן לבנותו שלא על פי נביא, ואפילו לדעת הרמב"ם שסובר שגם מקדש העתיד יבנה בידי אדם, הרי הוא הדגיש בדבריו שהוא ייבנה רק על ידי מלך המשיח, כפי שפוסק בפי"א מה' מלכים.

ולדעת ספר החינוך (במצוה צ"ה) דמצות בנין ביהמ"ק נוהגת בזמן שרוב ישראל על אדמתן, א"כ בודאי שכיום אין מצוה כזו.

ואליבא דכו"ע זהו הסדר שלעתיד אליבא דש"ס בבלי (ויתכן וקרוב לודאי גם אליבא דהירושלמי):

מקודם יבוא המשיח ולאחר מיכן יבנה או יתגלה הביהמ"ק [וכדמבאר המהרש"א בח"א מגילה ד' י"ח ע"א] שכשם שג' מצות נצטוו ישראל בכניסתן לארץ להעמיד להם מלך ולהכרית זרעו של עמלק ולבנות בית הבחירה, והעמדת מלך קודם, כך לעתיד נמי ודאי יהיה כן, מקודם בא דוד, ואח"כ, והביאותים אל הר קדשי דהיינו בנין בית הבחירה עיין שם. [צי"א ח"י סי' א עש"ע באורך].

לדעת הגר"א אף אנו מושבעים שלא לבנות את ביהמ"ק מעצמנו – 
הגר"א [בפי' לשה"ש פ"ב פסו' ז'] מבאר כוונת הפסוק של השבעתי אתכם [ומאמרם ז"ל על פסוק זה בכתובות קי"א שהשביעם שלא יעלו בחומה ע"ש] שזה מוסב על בנין ביהמ"ק שמושבעים שלא יצאו מאליהם לבנות בית המקדש שושנא דלעילא עד שיבא עיין שם. והוא על יסוד האמור בזה בתקוני זוהר תקון כ"ו יעו"ש בניצוצי זהר סק"ב. [צי"א שם].

הערת אגב – כתבת "איך אפילו בימנו שברור שאנחנו בתקופת גאולה של "בעיתה" ולא זכינו ל"אחישנה" מבטלים מצוות עשה מן התורה בלי למצמץ ולמשל מצוות שמיטה שהרמב"ם מתייחס אליה כמצווה שיחדש המשיח מחמירים בה ונוהגים גם בימינו…"

א. כיצד ברור לך שאיננו ב"אחישנה"? כל שתבוא הגאולה בטרם הזמן האחרון שנקבע הנקרא "בעתה" – עדיין זה "אחישנה". אין גבול ל"אחישנה".

ב. מה שכתבת בדעת הרמב"ם בנוגע לדין שמיטה – לא ברור לי. מוסכם על הפוסקים שלדעת הרמב"ם יש חובת שמירת שמיטה בזמן הזה, ואין זה "חומרא"! רק נחלקו בדעתו האם לדעתו בזמננו החיוב הוא מן התורה או מדרבנן, וע"ז נשתברו קולמוסים רבים.

*  *  *

בכל הדיון כאן לא נכנסנו לשאלה של עליה להר הבית [שהרי כדי לבנות את ביהמ"ק צריך לעלות להר הבית ואנו טמאי מתים], ולעצם האפשרות להקריב קרבן כשאיננו יודעים מקום המזבח, ואין לנו כהנים מיוחסים, ואין לנו בגדי כהונה [וגם אי אפשר שיהיו כיון שהם שעטנז, וצריכים תכלת וארגמן שאיננו יודעים זהותם בודאות] שבחלק מעניינים אלה הרחבנו בתשובה כאן.

ובענין הקרבת קרבנות בזמן הזה – והפולמוס הנרחב בשיטתו של הרצ"ה קלישר שרצה לחדש הקרבת קרבן פסח בזה"ז, והגרעק"א רבו, והחת"ס והערל"נ ועוד ששללו את האפשרות מכמה בעיות – ראה בהרחבה גדולה בספר עמק הלכה [גודלשטיין ח"א סי' פב] ובספר אוהל המועד [טוקר ח"ב סי' פו] ובחוברת אור המזרח מא עמ' 217.